非扩张映射的 Markovian Halpern 迭代：Banach 空间理论

基于摘要分析。本文研究非扩张算子 T 的不动点随机逼近，其中预言机样本来自一条持续运行的 Markovian 轨迹，而非独立采样。核心贡献是提出方差缩减的 Markovian PAGE-Halpern 方法，并将其样本复杂度分析从 Hilbert 空间推广到一般有限维 Banach 空间。 机制上，该方法使用刷新块与同状态差分块，并借助 Poisson 方程分析 Markovian 采样。Hilbert 空间中的分析利用 I−T 的余强单调性（cocoercivity）；推广到 Banach 空间时，作者以位移层面的 Halpern 界替代 Hilbert 空间势函数。此外，作者通过辅助光滑范数度量估计量，建立高概率保证。 作者报告，直接采用分块小批量 Halpern 迭代时，末次迭代残差的期望量级为 O(log N/N)，但达到 ε 精度所需的 Markovian 样本复杂度为 Õ(ε⁻⁵)。对于提出的方差缩减方法，作者报告 Hilbert 空间中的样本复杂度为 O(ε⁻³)，一般有限维 Banach 空间中为 Õ(ε⁻³)，高概率保证具有相同的主导精度依赖。摘要未明确 N 的计数口径、ε 对应的精确残差定义，以及上述界依赖的混合性、算子和预言机条件，不能仅据 ε 的指数判断实际计算优势。 本文主要是随机不动点算法的理论研究，摘要未提供 EEG/BCI 应用或独立实验证据。定理假设、维度与混合参数依赖、对数因子、实验协议及实现条件尚未验证；目前不足以提出具体的 BCI 迁移结论。