对称正定矩阵上的分层切片 Wasserstein 距离

基于摘要分析。本文研究协方差学习中对称正定（SPD）矩阵分布的比较问题，提出 SPD hierarchical sliced-Wasserstein（SPDHSW），旨在降低反复计算切片 Wasserstein 距离时的高维投影开销，同时分析分布差异估计与优化梯度所需的精度条件。 核心机制是在对称矩阵的对数空间中计算一组规模较小的基础投影，再混合这些投影坐标，构造大量一维分布比较；每次更新重新采样投影族，避免优化始终受限于固定子空间。作者报告，在 Frobenius-uniform 采样条件下，SPDHSW 保持平方 SPDSW 的总体目标。该结论针对总体目标，不应直接理解为有限采样时每次估计或训练轨迹均与 SPDSW 相同。 理论分析重点是：混合投影共享同一组基础投影，因此彼此并不独立。作者通过精确方差分解与调和分析刻画这种依赖，并将分析扩展到优化使用的梯度，由此分别给出分布差异数值与训练梯度的精度判据。这使投影预算分配不仅关注距离估计，也关注实际优化中的梯度精度。 作者报告，在合成分布、手部动作协方差和 EEG 域适应实验中，固定每次更新的矩阵投影次数时，该方法改善了分布对齐；在共享优化设置下，相比大预算的非分层切片方法，降低了投影计算占主导的循环开销。摘要未提供 EEG 数据集、被试数、跨被试或跨会话协议、下游任务指标及具体耗时，不能据此认定 EEG 分类性能提升。复现时需核对投影采样与混合方式、预算计量、方差判据及运行时间构成；实验协议、消融及统计信息尚未验证。