双曲多分类表征学习的隐式偏置：Busemann 风险视角

基于摘要分析。本文研究固定类别原型位于双曲空间 ℍⁿ 时，多分类表征在黎曼梯度流下的隐式偏置。作者以 Busemann 函数刻画大半径区域的方向依赖项，将表征向边界移动的径向动力学与边界方向的收敛行为分开分析，为边界饱和和近边界聚类提供渐近理论解释。 核心机制是：在大半径条件下，到各类别原型的距离可分解为径向项与由 Busemann 函数描述的方向项。分析适用于一般的 permutation invariant relative margin（PERM）损失，摘要明确指出该类包含 cross entropy 及其他标准多分类损失；具体损失条件及证明假设尚未验证。 作者报告两项理论结果：其一，漂移系数 μ 的符号决定半径趋向理想边界还是返回内部；若正漂移持续，则 r(t)=½ log t+O(1)，若负漂移持续，轨迹会在有限时间内返回大半径阈值。上述结论针对所分析的黎曼梯度流及相应持续漂移条件，不应直接视为离散优化器的训练规律。其二，边界方向收敛到双曲空间边界 ∂ℍⁿ 上 Busemann 风险的临界点；临界点收敛不等同于全局最优或分类性能提升。 平台推测（待验证）：若 EEG 分类采用双曲表征与固定类别原型，这一分解可能用于诊断嵌入半径持续增长和方向聚集，但并不保证低信噪比、跨被试变化或小数据条件下的泛化收益。可复用的是径向与方向分解的分析思路，需改造并核对的是实际编码器、离散更新和原型设置与理论假设的对应关系。一个可检验的小实验是在固定 EEG 数据划分及固定原型条件下，记录训练中的半径、方向变化和分类指标，检验是否出现理论描述的渐近行为。已有 EEG 相关工作尚未检索确认；全文中的证明条件、实验协议、消融及统计信息尚未验证。